Deepseek的思考过程
参考前文：用一道数学题比较当下最流行的模型#Deepseek的回答
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嗯，好的，我现在要解决这个关于函数 \(f(x) = e^{2x} -5e^x + λx\) 的两个问题。第一个问题是当 \(λ=2\) 时，求 \(f(x)\) 的极值；第二个问题是当 \(f(x)\) 在区间 \((-∞, 0)\) 上有零点时，求实数λ的取值范围。让我一步一步地来思考这两个问题，可能会有些地方需要仔细推导或者验证是否正确。
首先，第一个问题，当 \(λ=2\) 时，求 \(f(x)\) 的极值。极值通常是函数的一阶导数为零的点，然后通过二阶导数或者函数的单调性来判断是极大值还是极小值。那我先来处理第一个问题。
首先，写出当 \(λ=2\) 时的函数表达式：
\(f(x) = e^{2x} -5e^x + 2x\).
接下来，我需要求这个函数的导数 \(f’(x)\)，然后找出导数为零的点，也就是临界点，进而判断这些点是否为极值点。
求导数的话，各个项的导数分开算：
\(e^{2x}\) 的导数是 \(2e^{2x}\)（链式法则）；
\(-5e^x\) 的导数是 \(-5e^x\)；
\(2x\) 的导数是 \(2\)。
所以，\(f’(x) = 2e^{2x} -5e^x + 2\).
接下来，我需要解方程 \(f’(x)=0\)，也就是：
\(2e^{2x} -5e^x + 2 = 0\).
这个方程看起来像是一个关于 \(e^{2x}\) 和 \(e^x\) 的二次方程，或许可以做一个代换，让 \(y = e^x\)，那么 \(e^{2x} = y²\)，所以原方程变为：
\(2y² -5y + 2 = 0\).
这是一个标准的二次方程，可以用求根公式来解：
\(y = [5 ± √(25 - 16)] / (2*2) = [5 ± √9]/4 = [5 ± 3]/4\).
所以，根为：
\(y1 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2\)，
\(y2 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2\).
但这里的 \(y\) 是 \(e^x\)，所以对应的 \(x\) 值需要满足 \(e^x = 2\) 或者 \(e^x = 1/2\)，即：
当 \(e^x = 2\) 时，\(x = ln2\)；
当 \(e^x = 1/2\) 时，\(x = ln(1/2) = -ln2\).
所以，临界点是 \(x = ln2\) 和 \(x = -ln2\)。
接下来，我需要判断这两个临界点处是极大值还是极小值。这里可以用二阶导数或者一阶导数的符号变化来判断。让我试试用二阶导数的方法。
先求二阶导数 \(f''(x)\)。已经知道 \(f’(x) = 2e^{2x} -5e^x + 2\)，那么再导一次：
\(f''(x) = 4e^{2x} -5e^x\).
现在，将 \(x = ln2\) 代入 \(f''(x)\)：
首先，\(e^{2x}\) 当 \(x=ln2\) 时，是 \(e^{2ln2} = (e^{ln2})^2 = 2^2 = 4\)；
同样，\(e^x = e^{ln2} = 2\)。
所以，\(f''(ln2) = 4*4 -5*2 = 16 -10 = 6\)，这是正数，所以x=ln2处有一个极小值。
同样地，代入 \(x = -ln2\)：
\(e^{2x} = e^{-2ln2} = (e^{ln2})^{-2} = 2^{-2} = 1/4\)；
\(e^x = e^{-ln2} = 1/2\)；
所以，\(f''(-ln2) = 4*(1/4) -5*(1/2) = 1 - 5/2 = -3/2\)，这是负数，所以 \(x=-ln2\) 处有一个极大值。
接下来，计算这两个点处的函数值，也就是极值的具体数值。
首先，计算 \(x=ln2\) 时的 \(f(ln2)\)：
\(f(ln2) = e^{2*ln2} -5e^{ln2} + 2*ln2\).
同样，\(e^{2ln2} = 4\)，\(e^{ln2} =2\)，所以：
\(f(ln2) = 4 -5*2 + 2ln2 = 4 -10 + 2ln2 = -6 + 2ln2\).
然后，计算 \(x=-ln2\) 时的 \(f(-ln2)\)：
\(e^{2*(-ln2)} = e^{-2ln2} = 1/4\)；
\(e^{-ln2} = 1/2\)；
所以，
\(f(-ln2) = 1/4 -5*(1/2) + 2*(-ln2) = 1/4 -5/2 -2ln2 = (1/4 -10/4) -2ln2 = (-9/4) -2ln2\).
不过，这里需要注意，当计算 \(2*(-ln2)\) 的时候，应该是 \(-2ln2\)，所以原式正确。
因此，当 \(λ=2\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \(x=ln2\) 处有一个极小值，值为 \(-6 + 2ln2\)；在 \(x=-ln2\) 处有一个极大值，值为 \(-9/4 -2ln2\)。
这应该是第一个问题的答案。
不过，可能需要注意单位或者计算是否正确，再检查一遍：
比如，在计算 \(f(ln2)\) 的时候，代入是否正确：
\(e^{2x}\) 当 \(x=ln2\) 时，确实是 \(e^{2ln2} = (e^{ln2})^2=2^2=4\)；
然后，\(-5e^x\) 就是 \(-5*2=-10\)；
然后，\(2x\) 就是 \(2*ln2\)，没错。
所以，总和是 \(4-10+2ln2= -6 +2ln2\)，没问题。
同样，\(x=-ln2\) 时：
\(e^{2x}=e^{-2ln2}=1/4\)；
\(-5e^x=-5*(1/2)=-5/2\)；
\(2x=2*(-ln2)=-2ln2\)；
所以，总和是 \(1/4 -5/2 -2ln2= 1/4 -10/4= -9/4\)，再减去 \(2ln2\)，正确。
好的，第一个部分应该没问题。
接下来是第二个问题：当 \(f(x)\) 在区间 \((-∞, 0)\) 上存在零点时，求实数λ的取值范围。
也就是说，存在 \(x < 0\)，使得 \(f(x)\) =0，即 \(e^{2x} -5e^x +λx=0\)。需要找到这样的λ的取值范围。
这个问题可能需要分析函数在 \(x<0\) 时的行为，找到当λ变化时，函数与零轴相交的条件。
首先，可能需要考虑当 \(x\) 趋近于 \(-∞\) 时， \(f(x)\) 的行为，以及当 \(x\) 接近 \(0-\) 时（即从左边接近0）时，函数的行为，然后通过中间值定理或者极值的存在性来找到条件。
另外，可能要考虑是否存在 \(x<0\) 使得方程成立，即 \(λ = (5e^x - e^{2x}) / x\)，这时候可以分析右边的表达式当 \(x<0\) 时的取值范围，进而得到λ的取值范围。
或者，也可以考虑将方程重新排列为 \(λx = -e^{2x} +5e^x\)，即 \(λ = (-e^{2x} +5e^x)/x\)，其中 \(x<0\)，然后研究这个表达式在 \(x<0\) 时的值域，从而得到λ的范围。
不过，这个方法可能比较复杂，或者需要考虑函数的极值点。
让我尝试这样分析：
首先，考虑函数 \(f(x) = e^{2x} -5e^x +λx\)，在区间 \(x ∈ (-∞,0)\) 上是否存在零点。
我们需要找到 \(λ\)，使得存在 \(x <0\)，使得 \(e^{2x} -5e^x +λx = 0\)。
首先，当 \(x→-∞\) 时，各项的趋向：
\(e^{2x} →0\)，
\(e^x →0\)，
因此， \(f(x) ≈0 -0 +λx = λx\)，当 \(x→-∞\) 时，\(x\) 是趋向于 \(-∞\)，所以如果 \(λ≠0\) 的话，\(λx\) 会趋向于正无穷或负无穷，取决于 \(λ\) 的符号。例如，若 \(λ>0\)，则 \(λx→-∞\)；若 \(λ<0\)，则 \(λx→+∞\)。当 \(λ=0\) 时， \(f(x) =e^{2x}-5e^x\)，当 \(x→-∞\) 时，趋近于 \(0-0=0\)，但可能不会达到零点。
不过，当 \(x\) 接近 \(0-\) 时，即从左边趋近于0时，\(x\) 接近0，此时：
\(e^{2x} ≈1 +2x\)，
\(e^x ≈1 +x\)，
代入 \(f(x)\):
\(f(x) ≈ (1 +2x) -5*(1 +x) +λx = 1 +2x -5 -5x +λx = -4 -3x +λx = -4 + (λ -3)x\).
当 \(x\) 接近 \(0-\) 时，\(x\) 是一个很小的负数，因此 \((λ -3)x\) 的符号取决于 \(λ-3\) 的正负。例如，如果 \(λ>3\)，则 \((λ-3)x\) 是负数，因此整体可能更小；如果 \(λ<3\)，则 \((λ-3)x\) 是正数，可能提升 \(f(x)\) 的值。
不过，这可能只是近似的情况，具体要看 \(f(x)\) 在 \(x\) 接近 \(0\) 时的值。
更准确的方法是分析函数在 \(x∈(-∞,0)\) 的行为，并确定当λ满足什么条件时，函数在这个区间内至少有一个零点。
首先，考虑当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) =e^{2x} -5e^x +λx\)。此时，\(e^{2x}\) 和 \(e^x\) 都趋向于 \(0\)，所以 \(f(x) ≈λx\)。因此，当 \(x→-∞\) 时，如果 \(λ>0\)，则 \(f(x) →-∞\)；如果 \(λ<0\) ，则 \(f(x) →+∞\)；如果 \(λ=0\)，则 \(f(x) →0\)。
而当 \(x→0-\) 时，即 \(x\) 从左边接近 \(0\)，此时 \(e^{2x}≈1 +2x\)，\(e^x≈1 +x\)，代入得：
\(f(x) ≈(1 +2x) -5*(1 +x) +λx = 1 +2x -5 -5x +λx = -4 -3x +λx = -4 + (λ -3)x\).
当 \(x\) 接近 \(0-\) 时，\(x\) 是一个很小的负数，所以 \((λ-3)x\) 的值取决于 \(λ-3\) 的正负。例如：
如果λ \(-3 >0\)，即 \(λ>3\)，则 \((λ-3)x\) 是一个负数，因此 \(f(x) ≈-4 + 负数\)，即更小，趋近于 \(-4 -0 = -4\)；
如果λ \(-3 <0\)，即 \(λ<3\)，则 \((λ-3)x\) 是一个正数，因此 \(f(x) ≈-4 + 正数\)，即有可能接近 \(-4 +0\)，即 \(-4\)；
但可能这个近似不够准确，直接计算当 \(x=0\) 时，\(f(0) = 1 -5 +0= -4\)，所以在 \(x\) 接近 \(0-\) 时，函数值接近 \(-4\)，无论 \(λ\) 是什么，但由于 \(x=0\) 不属于区间 \((-∞,0)\)，所以需要考虑 \(x\) 接近 \(0-\) 时的极限。
不过，这可能并不能直接确定函数在区间内的表现，需要更详细的分析。
另外，可能需要寻找函数在区间 \((-∞,0)\) 上的极值点，然后确保函数在某个点有正负变化，从而应用中间值定理，即如果函数在某点 \(a<0\) 处为正，而在某点 \(b<0\) 处为负，或者在端点趋向不同的符号，那么中间存在零点。
不过，由于区间是 \((-∞,0)\)，所以端点可以视为 \(x→-∞\) 和 \(x→0-\)。
现在，我们需要确定是否存在 \(x∈(-∞,0)\)，使得 \(f(x) =0\)，即 \(e^{2x} -5e^x +λx =0\).
考虑将方程重排为 \(λx = -e^{2x} +5e^x\)，即 \(λ = (-e^{2x} +5e^x)/x\)，这里 \(x<0\)，因此右边的表达式是 \((-e^{2x} +5e^x)/x = (5e^x -e^{2x})/x\)。因为 \(x<0\)，所以这个表达式等价于 \((5e^x -e^{2x})/x\)，其中分母是负数，分子呢？
当 \(x<0\) 时，\(e^x\) 和 \(e^{2x}\) 都是递减函数，因为指数函数的底数 \(e>1\)，所以随着 \(x\) 的减小，指数迅速趋向 \(0\)。对于 \(x<0\)，\(e^{2x} = (e^x)^2\)，所以当 \(x<0\) 时，\(e^{2x} < e^x\)，因为 \(e^x <1\)，所以平方后更小。例如，当 \(x=-1\) 时，\(e^{-2} ≈0.135\)，而 \(e^{-1}≈0.368\)，所以 \(5e^x -e^{2x} =5*0.368 -0.135≈1.84 -0.135≈1.705>0\)。所以分子 \(5e^x -e^{2x}\) 在 \(x<0\) 时是正的，因为 \(5e^x >e^{2x}\) 对于 \(x<0\) 是否总成立？
可能需要验证一下。
令 \(g(x) =5e^x -e^{2x}\)，\(x∈(-∞,0)\)，判断 \(g(x)\) 是否总是正的。
可以求导分析：
\(g’(x)=5e^x -2e^{2x} =e^x(5 -2e^x)\).
在 \(x<0\) 时，\(e^x <1\)，所以 \(5 -2e^x >5 -2*1=3>0\)，因此 \(g’(x)=e^x*(5 -2e^x) >0\)，所以 \(g(x)\) 在 \(x<0\) 时单调递增。
而当 \(x→-∞\) 时，\(g(x)=5e^x -e^{2x}≈0 -0=0\)，当 \(x→0-\) 时，\(g(x)=5e^0 -e^{0}=5*1 -1=4>0\).
所以，由于 \(g(x)\) 在 \(x<0\) 时单调递增，且当 \(x→-∞\) 时趋近于 \(0\)，当 \(x→0-\) 时趋近于 \(4\)，所以在整个区间 \(x<0\) 时，\(g(x) >0\)。因此，分子 \(5e^x -e^{2x}\) 在 \(x<0\) 时总是正的，而分母 \(x<0\)，因此整个表达式 \((5e^x -e^{2x})/x\) 在 \(x<0\) 时是负数，即对于任何 \(x<0\)，这个表达式都是负数，因此 \(λ\) 必须等于这个负数才能满足方程。因此，当且仅当 \(λ\) 等于某个负数时，存在x<0使得 \(f(x) =0\)。
不过，可能我需要更准确地分析这个函数 \(h(x)= (5e^x -e^{2x})/x\)，\(x<0\)，然后确定它的取值范围，从而得到λ的可能取值范围。
因为对于每一个 \(x<0\)，存在对应的 \(λ\) 使得方程成立，即 \(λ= h(x)\)。因此，所有可能的 \(λ\) 值就是 \(h(x)\) 在 \(x∈(-∞,0)\) 时的取值范围。所以，只要找到 \(h(x)\) 的最小值和最大值，或者上下限，就能确定 \(λ\) 的取值范围。
不过，首先我们需要分析函数 \(h(x) = (5e^x -e^{2x})/x，x<0\)。
考虑当 \(x→-∞\) 时，\(h(x)\) 的极限：
当 \(x→-∞\) 时，\(e^{x}\) 和 \(e^{2x}\) 都趋近于 \(0\)，但分子 \(5e^x -e^{2x}≈0\)，分母 \(x→-∞\)，因此这个极限是 \(0/-∞=0\)。不过需要用更精确的近似：
考虑分子：\(5e^x -e^{2x}\)，当 \(x→-∞\) 时，\(e^{2x}\) 相对于 \(e^x\) 来说更小，因为 \(2x\) 比 \(x\) 更小，因此可以忽略 \(e^{2x}\) 项，所以分子 \(≈5e^x\)。因此，\(h(x)≈5e^x /x →0\)（因为分子趋近于 \(0\)，分母趋近于 \(-∞\)），所以极限为 \(0\)。
当 \(x→0-\) 时，\(h(x)\) 的极限：
当 \(x→0-\) 时，分子 \(5e^x -e^{2x}≈5*(1+x) - (1 +2x) =5 +5x -1 -2x=4 +3x\)；
分母 \(x→0-\)。因此，\(h(x)≈ (4 +3x)/x ≈4/x +3\)，当 \(x→0-\) 时，\(4/x→-∞\)，所以整体趋近于 \(-∞\)。
所以，当 \(x→0-\) 时，\(h(x)→-∞\)；
当 \(x→-∞\) 时，\(h(x)→0\)。
接下来，考虑函数 \(h(x)\) 在区间 \((-∞,0)\) 上的极值情况，是否存在极大值或极小值，从而确定它的最大值或最小值。
首先，求 \(h(x)\) 的导数：
\(h(x)= (5e^x -e^{2x})/x\)，
导数 \(h’(x)\) 可以用商的导数法则：
\(h’(x)= [ (5e^x -2e^{2x})*x - (5e^x -e^{2x})*1 ] / x²\)
化简分子：
\(= x*(5e^x -2e^{2x}) -5e^x +e^{2x}\)
\(=5e^x x -2e^{2x}x -5e^x +e^{2x}\)
\(=5e^x(x -1) +e^{2x}(1 -2x)\)
所以，\(h’(x)= [5e^x(x -1) +e^{2x}(1 -2x)] / x²\)
接下来，我们需要找到 \(h’(x)=0\) 的解，即分子为零：
\(5e^x(x -1) +e^{2x}(1 -2x)=0\)
可以提取公因子 \(e^x\)：
\(e^x [5(x -1) +e^{x}(1 -2x)] =0\)
因为 \(e^x ≠0\)，所以必须满足：
\(5(x -1) +e^{x}(1 -2x)=0\)
这是一个方程，可能需要数值方法或者进一步分析才能解出 \(x\) 的值。
不过，可能很难找到解析解，所以我们可以考虑是否存在这样的 \(x<0\)，使得上式成立。
令 \(k(x)=5(x-1) +e^{x}(1-2x)\)，寻找 \(k(x)=0\) 的 \(x<0\) 解。
我们可以分析 \(k(x)\) 在 \(x<0\) 时的行为：
首先，当 \(x→-∞\) 时：
\(5(x-1) ≈5x\)，趋向于 \(-∞\)；
\(e^{x}(1-2x) ≈e^x*(-2x)\)，当 \(x→-∞\)，\(e^x→0\)，而 \(-2x→+∞\)，但指数衰减比线性增长快，所以整体趋向于0；
所以 \(k(x)≈5x →-∞\)。
当 \(x=0\) 时：
\(k(0)=5*(-1) +e^0*(1-0)= -5 +1= -4 <0\).
当 \(x\) 趋近于 \(0-\) 时：
计算 \(k(x)=5(x-1) +e^{x}(1-2x)≈5(x-1) + (1+x)(1-2x)\) （用泰勒展开近似）
展开：
\[ \begin{aligned} & 5x -5 + (1+x)(1-2x) \\ =& 5x -5 + [1(1-2x) + x(1-2x)] \\ =& 5x -5 + 1 -2x + x -2x^2 \\ =& (5x -2x + x) + ( -5 +1 ) + (-2x^2) \\ =& 4x -4 -2x^2 \end{aligned} \]
当 \(x\) 接近 \(0\) 时，\(x²\) 项可以忽略，所以近似为 \(4x -4\)，当 \(x\) 接近 \(0-\) 时，\(4x→0\)，因此 \(k(x)≈-4 <0\)。
这说明当 \(x\) 接近 \(0\) 时，\(k(x)≈-4 <0\)，而当 \(x→-∞\) 时，\(k(x)→-∞\)，并且在 \(x=0\) 处 \(k(x)=-4\)。那么是否有可能存在 \(x<0\) 使得 \(k(x)=0\)？
试一些具体的 \(x\) 值：
比如 \(x=-1\)：
\[ \begin{aligned} &k(-1)=5*(-1 -1) +e^{-1}(1 -2*(-1)) \\ =&5*(-2) +e^{-1}(1+2) \\ =& -10 +3/e \\ ≈&-10 +3/2.718 \\ ≈&-10 +1.104 \\ ≈&-8.896 <0 \end{aligned} \]
\(x=-0.5\):
\[ \begin{aligned} &k(-0.5) \\ =&5*(-0.5 -1) +e^{-0.5}(1 -2*(-0.5)) \\ =&5*(-1.5) +e^{-0.5}(1 +1) \\ =& -7.5 +2/e^{0.5} \\ ≈&-7.5 +2/1.6487 \\ ≈&-7.5 +1.213 \\ ≈&-6.287 < 0 \end{aligned} \]
\(x=-0.1\):
\[ \begin{aligned} &k(-0.1) \\ =&5*(-0.1 -1) +e^{-0.1}(1 -2*(-0.1)) \\ =&5*(-1.1) +e^{-0.1}(1 +0.2) \\ =& -5.5 +1.2/e^{0.1} \\ ≈&-5.5 +1.2/1.1052 \\ ≈&-5.5 +1.086 \\ ≈&-4.414 < 0 \end{aligned} \]
看来对于 \(x<0\)，\(k(x)\) 始终小于 \(0\)，因此 \(h’(x)=0\) 在 \(x<0\) 时没有解，即函数 \(h(x)\) 在区间 \((-∞,0)\) 上不存在临界点，也就是说 \(h(x)\) 在区间 \((-∞,0)\) 上单调递增或单调递减。
接下来分析 \(h’(x)\) 的符号：
由于 \(k(x)\) 在 \(x<0\) 时始终小于 \(0\)，因此 \(h’(x)= [k(x)] /x²\)，而 \(x²\) 总是正数，因此 \(h’(x)\) 的符号由 \(k(x)\) 决定，即 \(h’(x)\) 在 \(x<0\) 时总是负数，因此 \(h(x)\) 在区间 \((-∞,0)\) 上单调递减。
因此，当 \(x\) 从 \(-∞\) 增加到 \(0-\) 时，\(h(x)\) 从 \(0\) 单调递减到 \(-∞\)。
因此，\(h(x)= (5e^x -e^{2x})/x\) 在 \(x∈(-∞,0)\) 时的取值范围是 \((-∞,0)\)。
所以，对于 \(λ\) 来说，当且仅当 \(λ∈(-∞,0)\) 时，存在 \(x<0\) 使得 \(λ=h(x)\)，即存在 \(x<0\) 使得 \(f(x) = 0\)。
不过，这里需要验证这个结论是否正确。
根据之前的分析，当 \(x∈(-∞,0)\)，\(h(x)\) 的取值范围是 \((-∞,0)\)，所以对应的λ必须属于 \((-∞,0)\)，才能存在 \(x<0\) 使得 \(λ= h(x)\)，即存在零点。
但是，这里可能有问题，因为当 \(λ=0\) 时，原函数 \(f(x) =e^{2x}-5e^x\)，是否存在零点在 \(x<0\) 时？
当 \(λ=0\) 时， \(f(x) =e^{2x} -5e^x = e^x(e^x -5)\). 解方程 \(e^{2x} -5e^x =0\)，解得 \(e^x=0\)（不可能）或 \(e^x=5\)，即 \(x=ln5>0\)，但 \(x<0\) 时没有解，所以当 \(λ=0\) 时，在 \(x<0\) 区间没有零点，符合之前的结论 \(λ∈(-∞,0)\)。
再比如，当 \(λ=-1\) 时，是否存在 \(x<0\) 使得 \(f(x) =0\)？
即 \(e^{2x} -5e^x -x =0\)。是否当 \(λ=-1\) 时，存在 \(x<0\) 满足这个方程？
根据之前的分析，\(h(x)\) 的取值范围是 \((-∞,0)\)，所以当 \(λ\) 在 \((-∞,0)\) 时，存在这样的 \(x\)。
不过，可能需要更仔细的验证，比如当λ取某个负数时，是否存在零点。
例如，当 \(λ=-10\) 时，函数 \(f(x) =e^{2x}-5e^x -10x\)。
当 \(x→-∞\) 时，\(e^{2x}\) 和 \(e^x\) 都趋近于 \(0\)，所以 \(f(x) ≈-10x\)，此时 \(x→-∞\)，所以 \(-10x→+∞\)，因此 \(f(x) →+∞\)；
而当 \(x→0-\) 时， \(f(x) →e^0 -5e^0 +0=1 -5= -4\)。
所以，当 \(x\) 从 \(-∞\) 趋近于 \(0-\) 时， \(f(x)\) 从 \(+∞\) 降到 \(-4\)，中间会有一个零点，根据中间值定理，必然存在某个 \(x<0\) 使得 \(f(x) =0\)。因此，当 \(λ=-10\) 时，确实存在零点。
同样，当 \(λ\) 趋近于 \(0-\) 时，比如 \(λ=-ε\)（\(ε>0\) 很小），则函数 \(f(x) =e^{2x}-5e^x -ε x\)。
当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) ≈-ε x\)，此时 \(x→-∞\)，所以 \(-ε x→+∞\)（因为 \(x\) 负，乘以负的 \(ε\) 得正无穷），而当 \(x\) 接近 \(0-\) 时， \(f(x) →-4\)，因此同样存在零点。
而当 \(λ=0\) 时，如前所述，没有解，所以 \(λ\) 必须严格小于 \(0\)。
而当 \(λ>0\) 时，例如 \(λ=1\)，则函数 \(f(x) =e^{2x}-5e^x +x\)。
当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) ≈x*1 →-∞\)；
而当 \(x→0-\) 时， \(f(x) →-4\)。所以在整个区间内，函数可能从 \(-∞\) 上升到 \(-4\)，中间可能都是负的，不会有零点。或者是否有某个点 \(x\) 使得 \(f(x) =0\)？
比如，试 \(x=-1\) 时，\(λ=1\)：
\(f(-1) =e^{-2} -5e^{-1} +(-1)*1≈0.1353 -5*0.3679 -1≈0.1353 -1.8395 -1≈-2.7042 <0\).
\(x=-2\) 时， \(f(-2) =e^{-4} -5e^{-2} +(-2)*1≈0.0183 -5*0.1353 -2≈0.0183 -0.6765 -2≈-2.6582 <0\).
所以当 \(λ=1\) 时，在 \(x<0\) 时 \(f(x)\) 都是负数，所以没有零点。
而当 \(λ=-10\) 时，如前所述，存在零点。
所以，结论应该是 \(λ\) 的取值范围是 \((-∞,0)\)，即实数 \(λ\) 必须小于 \(0\)，才能使得 \(f(x)\) 在区间 \((-∞,0)\) 上存在零点。
不过，我需要再次检查之前的分析是否正确，因为可能存在某些特殊情况。
例如，当 \(λ\) 非常负时，比如 \(λ→-∞\)，是否存在零点？
当 \(λ→-∞\) 时，对于 \(x<0\)，函数 \(f(x) =e^{2x}-5e^x +λx\)。当 \(λ\) 非常负时，例如 \(λ=-M\)，\(M\) 很大正数，那么当 \(x\) 取一个很小的负数，比如 \(x=-a\)，\(a>0\)，这时 \(λx= -M*(-a)=Ma\)，当 \(a\) 趋近于 \(0\) 时，\(Ma\) 可以变得很大正数，而 \(e^{2x}\) 和 \(e^x\) 趋近于 \(1\)，所以此时 \(f(x) =e^{-2a} -5e^{-a} +Ma≈1 -5 +Ma= -4 +Ma\)。当 \(a\) 趋近于 \(0\) 时，\(Ma\) 趋近于 \(0\)，所以可能这个近似不准确，但更大的 \(x\)（更负的 \(x\)）可能使得 \(Ma\) 更大，从而可能使 \(f(x)\) 趋近于正无穷。这可能意味着当 \(λ\) 足够负时，函数会在某个点变为正，然后在接近 \(0-\) 时变为负，从而存在零点。
不过，根据之前的分析，\(h(x)\) 的取值范围是 \((-∞,0)\)，所以只要 \(λ∈(-∞,0)\)，就存在 \(x<0\) 使得 \(λ=h(x)\)，即存在零点，因此实数λ的取值范围是 \((-∞,0)\)。
因此，第二个问题的答案应该是 \(λ∈(-∞,0)\)。
不过，我需要再仔细检查是否存在某些情况下，尽管 \(λ<0\)，但函数在 \(x<0\) 时可能没有零点。
例如，当 \(λ=-1\) 时：
\(f(x) =e^{2x}-5e^x -x\).
当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) ≈ -x →+∞\)；
当 \(x\) 接近 \(0-\) 时， \(f(0-) =1 -5 +0= -4\)；
因此，根据中间值定理，在某个 \(x<0\)，函数从 \(+∞\) 降到 \(-4\)，必然经过零点，因此存在零点。
当 \(λ=-0.5\) 时：
\(f(x) =e^{2x}-5e^x -0.5x\).
当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) ≈-0.5x →+∞\)；
当 \(x\) 接近 \(0-\) 时， \(f(x) =≈1 -5 +0= -4\)；
所以，同样存在零点。
当 \(λ\) 趋近于 \(0-\) 时，例如 \(λ=-0.1\)：
\(f(x) =e^{2x}-5e^x -0.1x\).
当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) ≈-0.1x →+∞\)；
当 \(x\) 接近 \(0-\) 时， \(f(x) =≈1 -5 +0= -4\)；
同样存在零点。
当 \(λ=0\) 时，如前所述，没有零点；
当 \(λ>0\) 时，例如 \(λ=1\)，当 \(x→-∞\) 时， \(f(x) ≈x→-∞\)，而当 \(x\) 接近 \(0\) 时， \(f(x) =≈-4\)，所以整个区间内函数可能从 \(-∞\) 上升到 \(-4\)，没有穿过零点，因此不存在零点。
因此，结论正确，即λ的取值范围是 \((-∞,0)\)。
不过，之前的分析可能存在一点疏漏，因为当 \(λ\) 为负数时，\(h(x)= (5e^x -e^{2x})/x\) 在 \(x<0\) 时取值是负数，所以当 \(λ\) 等于 \(h(x)\) 的某个值时，确实存在对应的 \(x<0\)。又因为 \(h(x)\) 在区间 \((-∞,0)\) 上的值域是 \((-∞,0)\)，所以 \(λ\) 必须属于 \((-∞,0)\) 才能满足存在 \(x<0\) 使得 \(f(x) =0\)。
因此，第二个问题的答案是 \(λ∈(-∞,0)\)。
总结：
（1）当 \(λ=2\) 时， \(f(x)\) 在 \(x=ln2\) 处有一个极小值，值为 \(-6 +2ln2\)；在 \(x=-ln2\) 处有一个极大值，值为 \(-9/4 -2ln2\)。
（2）当 \(f(x)\) 在 \((-∞,0)\) 上存在零点时，实数 \(λ\) 的取值范围是 \(λ<0\)，即 \((-∞,0)\)。
不过，需要再次确认计算是否正确，尤其是第二个问题的结论是否正确。
另一种方法是考虑将方程 \(f(x) =0\) 改写为 \(λ = (e^{2x} -5e^x)/(-x)\)，对于 \(x<0\)，因此 \(-x>0\)，所以 \(λ= (e^{2x} -5e^x)/(-x) = (5e^x -e^{2x})/x\)，如前所述。由于 \(x<0\)，所以这里的表达式实际上等于 \(h(x)= (5e^x -e^{2x})/x\)，并且如前所述，\(h(x)\) 的取值范围是 \((-∞,0)\)，所以 \(λ\) 必须属于 \((-∞,0)\)。
因此，第二个问题的答案正确。
答案
（1） \(f(x)\) 的极大值为 \(\boxed{-\dfrac{9}{4} - 2\ln 2}\)，极小值为 \(\boxed{-6 + 2\ln 2}\)；
（2）实数 \(\lambda\) 的取值范围为 \(\boxed{(-\infty, 0)}\)。